Топ-100
Back

ⓘ Формули на Грийн. В математиката и по-специално във векторния анализ формулите на Грийн представляват по-специално приложение на теоремата на Гаус-Остроградски. ..




                                     

ⓘ Формули на Грийн

В математиката и по-специално във векторния анализ формулите на Грийн представляват по-специално приложение на теоремата на Гаус-Остроградски. Те са именувани на математика Джордж Грийн. Намират приложение в електростатиката при изчисление на електрически потенциали. В по-долните разглеждания пространствената тримерна област V ⊂ R n {\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{n}} е компактно множество с частично гладка гранична повърхност и ϕ {\displaystyle \phi } и ψ {\displaystyle \psi } са две функции дефинирани в V {\displaystyle V}, при което ϕ {\displaystyle \phi } и ψ {\displaystyle \psi } са двойно непрекъснати и диференцируеми. ∇ {\displaystyle \nabla } е оператор набла.

                                     

1. Първи израз на Грийн

∫ V ϕ ∇ 2 ψ + ∇ ϕ ∇ ψ d V = ∮ A ϕ ∂ ψ ∂ n d A {\displaystyle \int _{V}\phi \nabla ^{2}\psi +\nabla \phi \nabla \psidV=\oint _{A}\phi {\frac {\partial \psi }{\partial n}}dA},

при което A {\displaystyle A} е повърхността заграждаща обема V {\displaystyle V}, ∂ ψ ∂ n = ∇ ψ ⋅ n → {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial n}}=\nabla \psi \cdot {\vec {n}}}, a n → {\displaystyle {\vec {n}}} е нормалата излизаща от елемента площ d A {\displaystyle dA}.

При ϕ = ψ {\displaystyle \phi =\psi } израза придобива следния вид:

∫ V ϕ ∇ 2 ϕ + ∇ ϕ 2) d V = ∮ A ϕ ∂ ϕ ∂ n d A {\displaystyle \int _{V}\phi \nabla ^{2}\phi +\nabla \phi^{2})dV=\oint _{A}\phi {\frac {\partial \phi }{\partial n}}dA},

                                     

2. Втори израз на Грийн

∫ V ψ ∇ 2 ϕ − ϕ ∇ 2 ψ d V = ∮ A ψ ∂ ϕ ∂ n − ϕ ∂ ψ ∂ n d A {\displaystyle \int _{V}\psi \nabla ^{2}\phi -\phi \nabla ^{2}\psidV=\oint _{A}\psi {\frac {\partial \phi }{\partial n}}-\phi {\frac {\partial \psi }{\partial n}}dA}