Топ-100
Back

ⓘ Теорема на Гаус-Остроградски. Теоремата на Гаус-Остроградски е резултат от векторния анализ, който представя зависимостта между дивергенцията на едно векторно п ..




                                     

ⓘ Теорема на Гаус-Остроградски

Теоремата на Гаус-Остроградски е резултат от векторния анализ, който представя зависимостта между дивергенцията на едно векторно поле и потока на полето през затворена повърхност.

Теоремата следва от един специален случай на теоремата на Стоукс, която от своя страна обобщава основния израз в интегралното и диференциално смятане.

                                     

1. Формулировка

Дадено е: V ⊂ R n {\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{n}} компактно множество с частично гладка граница A {\displaystyle A}. Векторното поле F → {\displaystyle {\vec {F}}} е непрекъснато върху границата на V и непрекъснато и диференцируемо вътре в областта V {\displaystyle V}, а n → {\displaystyle {\vec {n}}} е нормала излизаща от елемента площ d A {\displaystyle dA}. Тогава е в сила:

∫ V div ⁡ F → d V = ∮ A F → ⋅ n → d A. {\displaystyle \int _{V}\operatorname {div} {\vec {F}}\;\mathrm {d} V=\oint _{A}{\vec {F}}\cdot {\vec {n}}\;\mathrm {d} A.}
                                     

2. Приложение

Теоремата е от особена важност във физиката, особено в електромагнетизма и хидродинамиката чиито математически апарат също включва векторния анализ.

                                     

3. История

Първи използва теоремата Жозеф Луи Лагранж през 1762 г. По-късно, независимо от Лагранж и един от друг, теоремата откриват и Карл Фридрих Гаус 1813 и Джордж Грийн 1825. Първото доказателство на теоремата е дадено от Михаил Остроградски през 1831 г.