Топ-100
Back

ⓘ Теорема на Лиувил. Един от класическите резултати в комплексния анализ е теоремата на Лиувил, наречена на Жозеф Лиувил. Теоремата на Лиувил гласи: Функцията, ко ..




                                     

ⓘ Теорема на Лиувил

Един от класическите резултати в комплексния анализ е теоремата на Лиувил, наречена на Жозеф Лиувил.

Теоремата на Лиувил гласи:

Функцията, която е аналитична и ограничена в цялата комплексна равнина, е константа.

С други думи всяка холоморфна функция f, за която съществува положително число M такова че | f z| ≤ M за всяко z в C, е константа.

                                     

1. Забележки

  • Теоремата на Лиувил се използва за кратко и елегантно доказателство на основната теорема на алгебрата.
  • Твърдението на теоремата се усилва значително от малката теорема на Пикар, която твърди, че всяка цяла функция, сред стойности на която липсват поне две различни комплексни числа, е константна.
  • На езика на римановите повърхнини, теоремата на Лиувил може да се обобщи по следния начин: Ако M е параболична риманова повърхнина например комплексната равнина C, а N е хиперболична например отворен кръг, то всяка холоморфна функция, изобразяваща M в N, е константа.