Топ-100
Back

ⓘ Теорема на Вивиани. Нека P {\displaystyle P} e вътрешна точка от равнината на един триъгълник. С d a, d b, d c {\displaystyle d_{a},d_{b},d_{c}} да означим разс ..




Теорема на Вивиани
                                     

ⓘ Теорема на Вивиани

Нека P {\displaystyle P} e вътрешна точка от равнината на един триъгълник. С d a, d b, d c {\displaystyle d_{a},d_{b},d_{c}} да означим разстоянията от P {\displaystyle P} до страните a, b, c {\displaystyle a,b,c} на триъгълника. Тогава ако с h a, h b, h c {\displaystyle h_{a},h_{b},h_{c}} сме означили височините към a, b, c {\displaystyle a,b,c}, то е изпълнено:

Доказателство: Очевидно S △ = S a + S b + S c {\displaystyle S_{\triangle }=S_{a}+S_{b}+S_{c}} където с S k {\displaystyle S_{k}}, k = a, b, c {\displaystyle k=a,b,c} сме положили лицето на триъгълника с върхове краищата на страната k {\displaystyle k} и точка P {\displaystyle P}. В такъв случай следва твърдението на теоремата:

Следствие: Нека с r {\displaystyle r} сме означили радиуса на вписаната окръжност. В такъв случай ако P {\displaystyle P} беше центърът на тази окръжност, то от теоремата на Вивиани следва: