Топ-100
Back

ⓘ Теорема на Чева. Теоремата гласи: през всеки от върховете на триъгълник ABC минава права, пресичаща противоположната му страна съответно в точките D, E и F и тр ..




Теорема на Чева
                                     

ⓘ Теорема на Чева

Теоремата гласи: през всеки от върховете на триъгълник ABC минава права, пресичаща противоположната му страна съответно в точките D, E и F и трите прави се пресичат в една точка.

Винаги A F B × B D C × C E A = 1. {\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BD}{DC}}\times {\frac {CE}{EA}}=1.}

                                     

1. Доказателство на теоремата

Нека трите прави се пресичат в точка "O".

Лицето на триъгълник AFC = AF по височината към AF.

Лицето на триъгълник BFC = BF по височината към BF, която е равна височината към AF.

Следователно: SAFC/SBFC = AF/FB.

По същия начин, лицата на триъгълниците OBC и OAC се отнасят както АF към FB SOBC/SOAC = FB/AF).

Аналогично:

SBOA/SAOC = BD/DC, SABO/SOBC = AE/EC, SOBC/SAOC = FB/AF.

Сега се замества в уравнението:

A F B × B D C × C E A = 1 = S A O C S B O A × S B O A S O B C × S O B C S A O C = 1. {\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BD}{DC}}\times {\frac {CE}{EA}}=1={\frac {SAOC}{SBOA}}\times {\frac {SBOA}{SOBC}}\times {\frac {SOBC}{SAOC}}=1.}

После, след съкращаване, се получава отговор 1 и теоремата е доказана.