Топ-100
Back

ⓘ Синусова теорема. В тригонометрията синусовата теорема се отнася до триъгълник в равнината. Ако страните на триъгълника са означени с a, b и c, а ъглите срещу т ..




Синусова теорема
                                     

ⓘ Синусова теорема

В тригонометрията синусовата теорема се отнася до триъгълник в равнината. Ако страните на триъгълника са означени с a, b и c, а ъглите срещу тях със A, B и C, тогава синусовата теорема гласи:

За всеки триъгълник отношението на коя да е страна и синуса на срещулежащия ъгъл е равно на диаметъра на описаната около триъгълника окръжност. a sin ⁡ A = b sin ⁡ B = c sin ⁡ C = 2 R {\displaystyle {a \over \sin A}={b \over \sin B}={c \over \sin C}=2R}

Тази формула се използва, за да се намерят неизвестните страни на триъгълника, ако знаем 2 ъгъла и третата страна, което е основен проблем при триангулацията. Може да се използва и ако са известни две от страните и едни от ъглите, но не този сключен между тях. Тогава формулата ще даде 2 решения, за сключения между известните ни страни, ъгъл. Реципрочното число – a /sinA) е равно на диаметъра на окръжността, описана около триъгълника. Това може да се изрази по следния начин:

a sin ⁡ A = b sin ⁡ B = c sin ⁡ C = 2 R = d. {\displaystyle {a \over \sin A}={b \over \sin B}={c \over \sin C}=2R=d.}

Или така:

d = a b c 2 p − a p − b p − c = 2 a b c a 2 + b 2 + c 2 − 2 a 4 + b 4 + c 4 {\displaystyle d={\frac {abc}{2{\sqrt {pp-ap-bp-c}}}}={\frac {2abc}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}^{2}-2a^{4}+b^{4}+c^{4}}}}}

където

р е полупериметъра p = a + b + c 2 {\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}}
                                     

1. Доказателство

Нека е даден триъгълник със страни a, b, и c и срещулежащи ъгли A, B, и C. Нека спуснем от върха C перпендикуляр към страната c и да го обозначим с h. Така получихме 2 правоъгълни триъгълника

За тях е вярно:

sin ⁡ A = h b {\displaystyle \sin A={\frac {h}{b}}} и sin ⁡ B = h a {\displaystyle \;\sin B={\frac {h}{a}}}

Следователно:

h = b sin ⁡ A = a sin ⁡ B {\displaystyle h=b\,\sin A=a\,\sin B}

и

sin ⁡ a = sin ⁡ B b. {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}.}

Същото ще получим и ако спуснем перпендикуляр от върха А към страната a:

sin ⁡ b = sin ⁡ c {\displaystyle {\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}}