Топ-100
Back

ⓘ Косинусова теорема. Косинусовата теорема е една от теоремите в геометрията и гласи: Квадратът на коя да е страна в триъгълник е равен на сбора от квадратите на ..




Косинусова теорема
                                     

ⓘ Косинусова теорема

Косинусовата теорема е една от теоремите в геометрията и гласи:

Квадратът на коя да е страна в триъгълник е равен на сбора от квадратите на другите две страни минус удвоеното произведение на тези две страни и косинуса на ъгъла, заключен между тях.

Нека разгледаме триъгълник A B C {\displaystyle ABC} със страни A B = c {\displaystyle AB=c}, B C = a {\displaystyle BC=a} и C A = b {\displaystyle CA=b} вж. Рис. 1.

Тогава е в сила равенството

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos γ {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \,\gamma }

Тук, с γ {\displaystyle \gamma } означаваме ъгълът, заключен между a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b}. За страните b {\displaystyle b} и c {\displaystyle c} косинусовата теорема изглежда така:

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos α {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \,\alpha } b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos β {\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \,\beta }

Оттук лесно могат да се изразят и косинусите на дадените ъгли:

cos α = b 2 + c 2 − a 2 b c {\displaystyle \cos \,\alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}} cos β = a 2 + c 2 − b 2 a c {\displaystyle \cos \,\beta ={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}} cos γ = a 2 + b 2 − c 2 a b {\displaystyle \cos \,\gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}

Когато един от ъглите на триъгълник е прав, косинусовата теорема се свежда до Питагоровата теорема.

                                     

1.1. Доказателства Доказателство с Пигагорова теорема

Нека да разгледаме триъгълника A B C {\displaystyle ABC}. От върха C {\displaystyle C} към страната A B {\displaystyle AB} е спусната височината C D {\displaystyle CD} вж. Рис. 2. От триъгълника A D C {\displaystyle ADC} следва:

A D = b cos α {\displaystyle AD=b\cos \,\alpha }, D B = c − b cos α {\displaystyle DB=c-b\cos \,\alpha }

Нека да запишем и Питагоровата теорема за двата триъгълника A D C {\displaystyle ADC} и B D C {\displaystyle BDC}.

{ h 2 = b 2 − b cos α 2 h 2 = a 2 − c − b cos α 2 {\displaystyle {\begin{cases}h^{2}=b^{2}-b\cos \,\alpha^{2}\\h^{2}=a^{2}-c-b\cos \,\alpha^{2}\end{cases}}}

Очевидно, десните части на двете уравнения са равни, т.е.

b 2 − b cos α 2 = a 2 − c − b cos α 2 {\displaystyle b^{2}-b\cos \,\alpha^{2}=a^{2}-c-b\cos \,\alpha^{2}}

След опростяване получаваме

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos α {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \,\alpha }
                                     

1.2. Доказателства Доказателство с вектори

Въвеждаме базисните вектори C B → = a → {\displaystyle {\overrightarrow {CB}}={\vec {a}}} и C A → = b → {\displaystyle {\overrightarrow {CA}}={\vec {b}}}.

Нека A B → = c → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}={\vec {c}}}. По правилото за изваждане на вектори получаваме:

c → = a → − b → {\displaystyle {\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}}

След повдигане на квадрат достигаме до равенството:

c → 2 = a → 2 + b → 2 − 2 a → ⋅ b → {\displaystyle {\vec {c}}^{2}={\vec {a}}^{2}+{\vec {b}}^{2}-2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}

От формулата за скаларно произведение на два вектора става ясно, че:

‖ c → ‖ 2 = ‖ a → ‖ 2 + ‖ b → ‖ 2 − 2 ⋅ ‖ a → ‖ ⋅ ‖ b → ‖ cos ⁡ ∠ a →, b → {\displaystyle \Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}=\Vert {\vec {a}}\Vert ^{2}+{\Vert {\vec {b}}\Vert }^{2}-2\cdot \Vert {\vec {a}}\Vert \cdot \Vert {\vec {b}}\Vert \cos \angle {\vec {a}},\ {\vec {b}}}

С това теоремата е доказана.