Топ-100
Back

ⓘ Теорема на Хамилтон. Теоремата на Хамилтон е една от теоремите в геометрията и гласи следното: Ако точката O {\displaystyle O} е центърът на описаната около три ..




                                     

ⓘ Теорема на Хамилтон

Теоремата на Хамилтон е една от теоремите в геометрията и гласи следното:

Ако точката O {\displaystyle O} е центърът на описаната около триъгълник A B C {\displaystyle ABC} окръжност, а точката H {\displaystyle H} е негов ортоцентър, то е в сила равенството O H → = O A → + O B → + O C → {\displaystyle {\overrightarrow {OH}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}}.

                                     

1. Доказателство

Нека O X ⊥ A B {\displaystyle OX\perp AB}, O Y ⊥ B C {\displaystyle OY\perp BC} и O Z ⊥ C A {\displaystyle OZ\perp CA}. Понеже точката O {\displaystyle O} е център на описаната окръжност, то A X = X B {\displaystyle AX=XB}, B Y = Y C {\displaystyle BY=YC} и C Z = Z A {\displaystyle CZ=ZA}. Тогава е изпълнена системата

{ O X → = 1 2 O A → + O B → O Y → = 1 2 O B → + O C → O Z → = 1 2 O C → + O A → {\displaystyle {\begin{cases}{\overrightarrow {OX}}={\dfrac {1}{2}}\left{\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}\right\\{\overrightarrow {OY}}={\dfrac {1}{2}}\left{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}\right\\{\overrightarrow {OZ}}={\dfrac {1}{2}}\left{\overrightarrow {OC}}+{\overrightarrow {OA}}\right\end{cases}}}

Събираме трите равенства почленно и получаваме

O X → + O Y → + O Z → = O A → + O B → + O C → 1 {\displaystyle {\overrightarrow {OX}}+{\overrightarrow {OY}}+{\overrightarrow {OZ}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}\ 1}

Нека сега представим O H → {\displaystyle {\overrightarrow {OH}}} като разлика на следните вектори:

{ O H → = A H → − A O → O H → = B H → − B O → O H → = C H → − C O → {\displaystyle {\begin{cases}{\overrightarrow {OH}}={\overrightarrow {AH}}-{\overrightarrow {AO}}\\{\overrightarrow {OH}}={\overrightarrow {BH}}-{\overrightarrow {BO}}\\{\overrightarrow {OH}}={\overrightarrow {CH}}-{\overrightarrow {CO}}\end{cases}}}

Понеже C H → = 2 O X → {\displaystyle {\overrightarrow {CH}}=2{\overrightarrow {OX}}}, B H → = 2 O Z → {\displaystyle {\overrightarrow {BH}}=2{\overrightarrow {OZ}}} и A H → = 2 O Y → {\displaystyle {\overrightarrow {AH}}=2{\overrightarrow {OY}}}, то горната система придобива следният вид:

{ O H → = 2 O Y → − A O → O H → = 2 O Z → − B O → O H → = 2 O X → − C O → {\displaystyle {\begin{cases}{\overrightarrow {OH}}=2{\overrightarrow {OY}}-{\overrightarrow {AO}}\\{\overrightarrow {OH}}=2{\overrightarrow {OZ}}-{\overrightarrow {BO}}\\{\overrightarrow {OH}}=2{\overrightarrow {OX}}-{\overrightarrow {CO}}\end{cases}}}

Събирайки трите равенства почленно ще получим

3 O H → = 2 O X → + O Y → + O Z → − A O → − B O → − C O → {\displaystyle 3{\overrightarrow {OH}}=2{\overrightarrow {OX}}+{\overrightarrow {OY}}+{\overrightarrow {OZ}}-{\overrightarrow {AO}}-{\overrightarrow {BO}}-{\overrightarrow {CO}}}

тоест

3 O H → = 2 O X → + O Y → + O Z → + O A → + O B → + O C → 2 {\displaystyle 3{\overrightarrow {OH}}=2{\overrightarrow {OX}}+{\overrightarrow {OY}}+{\overrightarrow {OZ}}+{\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}\ 2}

От 1 {\displaystyle 1} и 2 {\displaystyle 2} следва, че

3 O H → = 2 O A → + O B → + O C → + O A → + O B → + O C → {\displaystyle 3{\overrightarrow {OH}}=2{\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}+{\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}}

или

3 O H → = 3 O A → + O B → + O C → {\displaystyle 3{\overrightarrow {OH}}=3{\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}}

откъдето O H → = O A → + O B → + O C → {\displaystyle {\overrightarrow {OH}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}}.

С това теоремата е доказана.

                                     
  • формулировката на Хамилтон В по - общ планк, скобките на Поасон се използват при дефинирането на алгебра на Поасон, а многообразието на Поасон е неин частен
  • формулировката на Лагранж към тази на Хамилтон в класическата механика. В термодинамиката, тя също се използва за намиране на енталпията и свободните енергии на Хелмхолц
  • приноси към областта на диференциалните уравнения и рационалната механика, в частност чрез уравнението на Хамилтон - Якоби. Особената сила на Якоби лежи главно
  • Грасман, кватернионите на Хамилтон матричното смятане на А. Кейли и т.н. Това са основите на съвременната алгебра като обща теория на алгебричните операции
  • отношение уравненията на класическата физика са тези, в които не фигурира константата на Планк. Според принципа за съответствие и теоремата на Еренфест, изведени
  • едно тяло оказва на промяна в състоянието си на въртеливо движение. С други думи, това е инерцията на въртящото се тяло по отношение на въртенето му. Аналогично
  • подобни на диагоналните, още по - добър вариант е да се използва спектралната декомпозиция на A. Друг метод, базиран на теоремата на Хамилтон - Кейли намира

Users also searched:

...